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Balbereith
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Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Sam 6 Mar 2010 - 20:22
LES NOMBRES COMPLEXES (I)

A/ Un nouvel ensemble de nombres :

1) Définition : On appelle ensemble des nombres complexes et on note CI (je n'ai pas le caractère spéciale désolé), un ensemble qui contient IR (je n'ai pas non plus le caractère spéciale) tel que :
- il existe dans CI un élément noté i tel que i² = -1.
- tout élément z de CI s'écrit z = a +ib avec a et b, deux réels.
- les règles de calcul dans CI sont les mêmes que celles dans IR.

2) Egalité de 2 nombres complexes :

Propriété 1 : Soit a et b, deux nombres réels : a+ ib = 0 ssi a = 0 et b = 0.
Propriété 2 : Soit a, b, a', b', 4 nombres réels, a+ ib = a' + ib' ssi a = a' et b = b'.

3) Vocabulaire : L'écriture z = a + ib avec a appartenant à IR et b appartenant à IR est la forme algébrique de nombre complexe z. a est la partie réelle du nombre complexe z = a + ib et b est la partie imaginaire de ce nombre complexe.
Cas particuliers :
- les nombres réels, qui sont aussi des nombres complexes, ont leur partie imaginaire nulle.
- les nombres complexes qui ont leur partie réelle nulle sont dits imaginaires purs : ils s'écrivent bi avec b appartenant à IR.

4) Nombre complexe conjugué :

Définition : le conjugué du nombre complexe z = a + ib est le nombre complexe /z (on dit oralement z bar) = a -ib.
Propriété : si z = a + ib : z + /z = 2a, z - /z = 2ib et //z = z.

5) Module d'un nombre complexe.

On appelle module du nombre complexe z et on note |z| le nombre réel positif, racine(z * /z) soit |z| = racine(a² + b²)



B/ Affixes de points et de vecteurs :

Le plan est reporté à un repère orthonormé direct (O;->u;->v) [->u est le verteur nommé u, je n'ai pas la fonction qui permet e mettre une flèche au dessus d'une chaine de caractère]

1) affixe d'un point
Un point M de coordonnées (a;b) dans le repère (O;->u;->v) a pour affixe le nombre complexe z = a + ib.

2) affixe d'un vecteur
Le vecteur ->w de coordonnées (a;b) dans (O;->u;->v) a pour affixe z = a +ib.

3) calcul de l'affixe du vecteur ->AB
Si A et B ont pour affixes za et zb, le vecteurs ->AB a pour affixe z->AB = zb - za.

4) Affixes et opérations avec des vecteurs.
soit ->w et ->w' deux vecteurs d'affixes respectives z et z' et k un réel quelconque.
->w + ->w' a pour affixe z + z' et le vecteur k->w a pour affixe k*z.

5) vecteurs colinéaires
Deux vecteurs sont colinéaires ssi le quotient de leurs deux affixes donnent un nombre réel.

6) Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs sont orthogonaux ssi le quotient de leurs deux affixes donnent un imaginaire purs


Je vous est retirer deux troix paragraphes, "multiplication de deux complexes" "quotient de deux complexes", comme les règles de calcul de IR s'appliquent à CI pas besoin de vous le mettre, j'ai retirer aussi toute les démonstration si vous les voulez demandé ^^.


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Coco'
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Sam 6 Mar 2010 - 21:03
Merci Balbe' Smile
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Elisa'
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Sam 6 Mar 2010 - 21:18
J'ai essayé de lire, mais j'ai vite arrêté, je n'ai strictement rien compris à tout ça :o

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Coco'
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Sam 6 Mar 2010 - 21:22
C'est loin de ton niveau quand même. Smile

Pour pouvoir comprendre un minimum, faut être en seconde (voir les ensembles) ^^
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ZangtherOld
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Sam 6 Mar 2010 - 21:28
complexe powa !
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Balbereith
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Sam 6 Mar 2010 - 21:38
Donc je vous fais un petit rappel sur les ensemble ce soir ^^ Si je les ai pas oulier ^^ car les plus courament utilisé son Z/, IN, IR et CI
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Coco'
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Sam 6 Mar 2010 - 21:42
Ensemble des
→ Entiers naturels [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
→ Entiers relatifs [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
→ Décimaux [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
→ Rationnels [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
→ Réels [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
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Balbereith
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Dim 26 Sep 2010 - 11:53
Ce sujet est vieillox je sais, mais j'ajoute une chtite précision ^^ : Comment à été créé l'ensemble des nombres complexes ^^ :

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et en fait (a,b) = a + ib et le couple (0,1) est noté i ^^ voilà voilà
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Dim 26 Sep 2010 - 11:57
Moi je suis en première et j'ai rien capté. \o/
En même temps, j'ai fait une seconde STI arts ap' (pas vraiment portée sur les maths) et là je suis en 1ère L (c'est génial, on réapprend les pourcentages et je fais jamais d'erreurs !). x)
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Balbereith
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Dim 26 Sep 2010 - 13:39
les nombres complexes sont utilisé partout, en géométrie, en physique cinétique (péiodicité) et chimie cinétique, car les nombre complexes permette de donné une définition du sinus et du cosinus...
cos x = (1/2) (eit+e-it et sin x = (1/2i) (eit-e-it
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Dim 26 Sep 2010 - 14:09
balb' arrête je vais vomir ...
j'ai encore ce genre de merde à mon programme...

Moi je suis en première et j'ai rien capté. \o/

tkt c'est normal je suis en bts Iris après un S SI et je pige strictement rien à l'image qu'il à filer...
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Balbereith
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Dim 26 Sep 2010 - 15:27
le V avec une barre horizontal veut dire "pour tout" le E arrondit , "appartenant à". IR x IR veut dire "premier élement dans IR et deuxième élément dans IR

(a,b) est ce que lon appelle un couple, c'est une association de deux éléments mathématiques (entiers, relatif, réel, complexe, vecteurs, angles, torseurs, variables, etc.)

Un élément est dit neutre pour l'addition, ssi on addition un élément a quelquonque par cette élément et que le résulta donne l'élément a. Ex : dans IR (les réels), 0 estl'élément neutre pour laddition car a + 0 = a

un éléments est dits neutre pour l'addition, ssi le produit de cette élément et d'un élment a vaut l'éléments a
Ex : 1 est l'élément neutre pour la multiplication dans IR

Un corps est un ensemble d'élément régit par deux lois internes qui sont commutatives, associatives, où la multiplications est distributives, et où chaque élémens posséde un opposé et un inverse dans ce même corps.

Je pense avoir donné tout les points de vocabulaire utilisé dans l'image...
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Dim 26 Sep 2010 - 17:43
Étrange, je n'ai pour ma part jamais utilisé l'ensemble ID, contenu dans IQ ... Quelqu'un pourrait m'expliquer ?
Il me semble que IQ est l'ensemble de tous les nombres pouvant s'écrire sous forme de fraction ... Alors, que signifie ID ?
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Balbereith
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Dim 26 Sep 2010 - 18:03
ID est l'ensemble des nombre à virgule fini : {3,4 ; 5,0000004 ; -539,01 ; 10-4} font partie de ID

EDIT : bon j'en profite :
IN sont les entiers naturels : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, etc.
IZ sont les entiers relatifs : -3,-2,-1,0,1,2,3
ID : cf plus haut
IQ sont les nombres qui ont une écriture fractionnaire : 1/3, 1/7, 1/564, etc...
IR sont tout les nombres IQ plus les irrationnels : racine de 2, de 3, pi, e, etc...

EDIT2 : Les ensembles ID et IQ ne sont jamais utilisé en mathématiques, ils sont inintérréssant jusqu'au doctorat de math je crois.
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Darky Face
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Dim 26 Sep 2010 - 19:40
Personnellement, j'ai appris IN, IZ et IQ au cours de ma vie ... Et un peu IR.
Donc, ID regroupe tous les nombres à virgule, sauf les nombres irrationnels et les périodiques ?
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Dim 26 Sep 2010 - 20:45
J'fais ça en cours actuellement, et on va voir les exponentielles dans la semaine ^^
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

le Sam 2 Oct 2010 - 15:27
IR contient tout les nombres qui sont composé d'une suite de 0 1 2 3 4 5 6 7 8 et 9, quelque soit leurs forme, infini ou fini fraction ou racine ^^ donc Dark' tu les utilise depuis que tu as appris à compter, car tu ne peux pas dire que tu as appris l'ensemble des entiers naturels, car je ne pense pas que tu ait vu les règles de bases en arythmétique (que c'est chiant ^^ théorème de Bezout, de Gauss, division euclidienne [je sais que l'on en fais en CE1 mais là il y a des subtilité en plus]), si tu fais spé math et que le programme n'a pas changé, l'arythmétique te prendra un tiers de l'année suivis des similitudes du plan complexe, et le dernier tier e l'anné et sur les espaces plan ^^. En gros que du inutile pour le sup... Pour l'instant on a reve tout le programme de première et de terminal, avec des approfondissement sur les calcul de limite que l'on disait incalculable en terminal, les équivalence, les fonction puissance, les lorarythme à base quelconque et exponentielle à base queconque. Apprenez bien les complexes car si vous allez en prépa vous allez en bouffé ^^
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Re: Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

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