Cours de math de TS : Les nombres complexes (I)

LES NOMBRES COMPLEXES (I)

A/ Un nouvel ensemble de nombres :

1) Définition : On appelle ensemble des nombres complexes et on note CI (je n'ai pas le caractère spéciale désolé), un ensemble qui contient IR (je n'ai pas non plus le caractère spéciale) tel que :
- il existe dans CI un élément noté i tel que i² = -1.
- tout élément z de CI s'écrit z = a +ib avec a et b, deux réels.
- les règles de calcul dans CI sont les mêmes que celles dans IR.

2) Egalité de 2 nombres complexes :

Propriété 1 : Soit a et b, deux nombres réels : a+ ib = 0 ssi a = 0 et b = 0.
Propriété 2 : Soit a, b, a', b', 4 nombres réels, a+ ib = a' + ib' ssi a = a' et b = b'.

3) Vocabulaire : L'écriture z = a + ib avec a appartenant à IR et b appartenant à IR est la forme algébrique de nombre complexe z. a est la partie réelle du nombre complexe z = a + ib et b est la partie imaginaire de ce nombre complexe.
Cas particuliers :
- les nombres réels, qui sont aussi des nombres complexes, ont leur partie imaginaire nulle.
- les nombres complexes qui ont leur partie réelle nulle sont dits imaginaires purs : ils s'écrivent bi avec b appartenant à IR.

4) Nombre complexe conjugué :

Définition : le conjugué du nombre complexe z = a + ib est le nombre complexe /z (on dit oralement z bar) = a -ib.
Propriété : si z = a + ib : z + /z = 2a, z - /z = 2ib et //z = z.

5) Module d'un nombre complexe.

On appelle module du nombre complexe z et on note |z| le nombre réel positif, racine(z * /z) soit |z| = racine(a² + b²)